Теплопроводность в однородной полосе с линейным изменением толщины при граничных условиях первого рода

Аннотация

Получено точное аналитическое решение в квадратурах начально-краевой задачи для нестационарного одномерного уравнения теплопроводности с граничными условиями первого рода для бесконечной полосы, причем одна из ее границ движется с постоянной заданной скоростью, уменьшая толщину полосы. Предварительно исходная система уравнений путем использования автомодельной замены пространственной переменной сведена к системе с неподвижной границей, к который применен метод разделения зависимых переменных. Требование равенства нулю коэффициентов перед производной первого порядка по автомодельной производной и отдельно входящей функцией в модифицированном уравнении в частных производных параболического типа позволило определить общую структуру решения, содержащего неизвестную функцию. Эта функция представлена суперпозицией двух потенциалов, которые связаны пропорционально с помощью автомодельной переменной, что дало возможность упростить модифицированное уравнение и применить для его решения классическое интегральное синус-преобразование Фурье. Результаты расчетов продемонстрировали динамику локального профиля температуры по изменяющейся толщине полосы с постоянной скоростью, причем кинетика среднеинтегральной температуры показывает, в отличие от случая отсутствия движения границы, наличие максимума, смещающегося с ростом отношения скорости перемещения границы к скорости переноса теплоты теплопроводностью к неподвижной границе. В предположении, что толщина полосы является параметром, задача в исходной формулировке решена методом одностороннего интегрального преобразования Лапласа по времени.