Геометрические свойства интегрального оператора Бернацкого

Аннотация

Исследование отображений классов регулярных функций с помощью различных операторов к настоящему времени стало самостоятельным направлением в геометрической теории функций комплексного переменного. В этом плане известную связь f(z)∈So ⇔ g(z) = zf'(z) ∈ S* классов So и S* выпуклых и звездообразных функций можно рассматривать как отображение с помощью дифференциального оператора G[f](x) = zf'(z) класса So на класс S*, то есть G: So → S* или G(So) = S*.
Толчком к изучению данного круга вопросов стало предположение М. Бернацкого о том, что обратный оператор G–1[f](x), переводящий S* → So и тем самым «улучшающий» свойства функций, отображает весь класс S однолистных функций в себя.
К настоящему времени вышел целый ряд статей, в которых исследуются различные интегральные операторы, в частности, определены множества значений входящих в эти операторы показателей, при которых операторы осуществляют отображение класса S или его подклассов в себя или в другие подклассы. В настоящей работе найдены значения входящего в обобщенный интегральный оператор Бернацкого параметра, при котором данный оператор преобразует подкласс звездообразных функций, выделяемых условием a < Re zf'(z)/ f(z) < b (0 < a < 1 < b), в класс K(γ) функций, почти выпуклой порядка γ. Результаты статьи обобщают или усиливают ранее известные результаты.