Generalized Solvability of Initial-Boundary Value Problems for Quasihydrodynamic System of Equations in Weighted Sobolev Spaces

Аннотация

В работе рассматривается аналог первой начально-краевой задачи для квазигидродинамической системы уравнений в случае слабосжимаемой жидкости в весовых пространствах Соболева. Система является эллиптико-параболической системой: первая ее часть представляет собой эллиптическое уравнение относительно градиента давления, а вторая представляет собой параболическую систему относительно вектора скорости. Неизвестные градиент давления и вектор скорости входят в главные части эллиптического уравнения и параболической системы. Стационарная часть системы не является равномерно эллиптической, что создает дополнительные трудности при исследовании задачи. Система была выведена Т.Г. Елизаровой и Б.Н. Четверушкиным путем осреднения известной кинетической модели. Первые варианты системы называются системой квазигазодинамических уравнений. Позднее Ю.В. Шеретовым на основе более общего уравнения состояния была получена еще одна модель, которая получила название «квазигидродинамическая система уравнений». Им же был проведен детальный анализ свойств этой системы. Однако ранее даже в линейном случае подробно не исследовались вопросы обобщенной разрешимости начально-краевых задач для таких систем, имеются только некоторые частные результаты. В данной статье будет предпринята попытка восполнить этот пробел. Доказывается обобщенная разрешимость системы в некоторых весовых классах, характеризующих поведение решений при t→∞. Доказательство основано на методе Галеркина и получаемых априорных оценках. Описано убывание (рост) решения в зависимости от убывания (роста) правой части системы. Убывание (рост) при t→∞ используемых весовых функций может быть как экспоненциальным, так и степенным.