Точное аналитическое решение некоторого класса нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений мембранной электрохимии

Аннотация

При математическом моделировании процессов переноса в электромембранных системах в виде краевых задач для систем уравнений Нернста–Планка–Пуассона возникают задачи, содержащие малый параметр при старшей производной, то есть сингулярно-возмущенные задачи. При малых плотностях тока эти задачи можно решать различными методами, например, методом погранслойных функций. Однако при больших плотностях тока известные методы асимптотического решения необходимо модифицировать, так как решение вырожденной задачи не существует на всем интервале. Для выявления структуры асимптотического решения, например, асимптотической шкалы, в таких случаях используют модельные задачи, допускающие точные аналитические решения. Кроме того, точное решение служит тестом для приближенных аналитических решений, например, асимптотических, а также численных решений. Точное решение дифференциальных уравнений имеет важное значение, так как позволяет исследовать задачу с исчерпывающей полнотой. Наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений высокого порядка является метод понижения порядка, позволяющее находить частное решение. В работе предлагается метод понижения порядка для некоторого класса нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены примеры конкретных нелинейных уравнений и их точных решений.