Об обобщенной краевой задаче для линейных уравнений соболевского типа на графе

Аннотация

На геометрическом графе рассматривается краевая задача, где помимо условий непрерывности и баланса потоков, впервые вводится условие неподвижности в вершине графа, которое превращается в условие Дирихле, когда граф содержит одно ребро с двумя вершинами. При решении этой задачи сначала рассматривается соответствующая задача Штурма–Лиувилля, а затем полученные результаты применяются для решения задачи Коши двух линейных моделей, заданных на графе: уравнения Хоффа и уравнения Баренблатта–Желтова–Кочиной. Особенностью работы является и тот факт, что на каждом ребре графа задаются уравнения с различными коэффициентами, что вкупе с введением неподвижных вершин графа является впервые рассматриваемой задачей.

Обе модели относятся к уравнениям соболевского типа, изучение которых переживает эпоху своего расцвета. Проведенная редукция этих уравнений к абстрактному уравнению соболевского типа позволила применить метод вырожденных полугрупп операторов. Найдено фазовое пространство решений методом фазового пространства, заключающимся в сведении сингулярного уравнения к определенному на некотором подпространстве исходного пространства регулярному уравнению. Полученные результаты теорем могут быть применены при рассмотрении обратных задач, задач оптимального управления, начально-конечных и многоточечных задач, а также при рассмотрении стохастических уравнений для моделей, заданных на геометрическом графе.