Об одном методе численного решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений со слабой особенностью в ядре
Аннотация
Формулировки многих прикладных задач часто включают в себя дифференциальные уравнения и интегральные уравнения Вольтерра первого и второго рода. Комбинируя такие уравнения, мы получаем систему интегро-дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей перед главной частью. Такие системы называются вырожденными интегро-дифференциальными уравнениями. Если они не содержат интегральную составляющую, то их называют дифференциально-алгебраическими уравнениями. Если отсутствует слагаемое с производной, то их принято называть интегро-алгебраическими уравнениями. К подобным математическим формулировкам приводит моделирование процессов, протекающих в электрических и гидравлических цепях, различных динамических системах, в частности, многотельных. Поэтому качественное исследование и численное решение такого рода задач являются достаточно актуальными, а результаты исследований — востребованными на практике. В данной статье на основе теории матричных пучков, а также с использованием схем исследований, разработанных для дифференциально-алгебраических и интегро-алгебраических уравнений, проанализированы условия существования и единственности решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений со слабой особенностью в ядре и предложен численный метод их решения, который был реализован в пакете прикладных программ MATLAB и протестирован на модельных примерах.
Ключевые слова
Полный текст:
PDFЛитература
Gear C.W. Differential algebraic equations, indices, and integral algebraic equations. SIAM Journal of Numerical Analysis. 1990. Vol. 27, no. 6. P. 1527–1534. DOI: 10.1137/0727089.
Chistyakov V.F. On singular systems of ordinary differential equations and their integral analogs. Lyapunov functions and their applications. Novosibirsk, Nauka Publishing House, 1987. P. 231–239. (in Russian)
Lamour R., Marz R., Tischendorf C. Differential-algebraic equations: a projector based analysis. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2013. 649 p. DOI: 10.1007/978-3-642-27555-5.
Brunner H., van der Houwen P.J. The numerical solution of Volterra equations (CWI Monographs 3). Elsevier Science Ltd, 1986. 604 p.
Brunner H. Collocation methods for Volterra integral and related functional equations. Cambridge University Press, 2004. 612 p. DOI: 10.1017/CBO9780511543234.
Brunner H. Volterra Integral Equations: An Introduction to Theory and Applications. Cambridge University Press, 2017. 402 p. DOI: 10.1017/9781316162491.
Liang H., Brunner H. On the convergence of collocation solutions in continuous piecewise polynomial spaces for weakly singular Volterra integral equations. SIAM Journal on Numerical Analysis. 2019. Vol. 57, no. 4. P. 1875–1896. DOI: 10.1007/s10543-016-0609-x.
Sajjadi S.A., Pishbin S. Convergence analysis of the product integration method for solving the fourth kind integral equations with weakly singular kernels. Numerical Algorithms. 2021. No. 86. P. 25–54. DOI: 10.1007/s11075-020-00877-x.
Liang H., Brunner H. Collocation methods for integro-differential algebraic equations with index 1. IMA Journal of Numerical Analysis. 2020. No. 39. P. 850–885. DOI: 10.1093/imanum/drz01.
Bulatov M.V., Lima P.M., Weinmuller E.B. Existence and uniqueness of solutions to weakly singular integral-algebraic and integro-differential equations. Central European Journal of Mathematics. 2014. Vol. 12. P. 308–321. DOI: 10.2478/s11533-013-0334-5.
Doležal V. Dynamics of Linear Systems. Prague, Academia Publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences, 1967. 325 p.
Jiang Y.L., Wing O. Waveform relaxation of linear integral-differential equations of circuit simulation. IEEE Design Automation Conference. 1999. P. 61–64. DOI: 10.1109/aspdac.1999.759710.
Ushakov Ye.I. Static Stability of Electrical Systems. Novosibirsk, 1988. 273 p.
Nassirharand A. A new technique for solving sets of coupled nonlinear algebraic and integrodifferential equations encountered in hydraulics. International Journal of Contemporary Mathematical Sciences. 2008. Vol. 3, no. 33. P. 1611–1617.
Ippili R.K., Davies P., Bajaj A.K., Hagenmeyer L. Nonlinear multi-body dynamic modeling of seat–occupant system with polyurethane seat and H-point prediction. International Journal of Industrial Ergonomics. 2008. Vol. 38, no. 5. P. 368–383. DOI: 10.1016/j.ergon.2007.08.014.
Chistyakova E.V. Properties of finite-difference schemes for singular integrodifferential equations of index 1. Comput. Math. Math. Phys. 2009. Vol. 49, no. 9. P. 1507–1515 DOI: 10.1134/S096554250909005X.
Bulatov M.V., Chistyakova E.V. On a family of singular integro-differential equations. Comput. Math. Math. Phys. 2011. Vol. 51, no. 9. P. 1558–1566. DOI: 10.1134/S0965542511090065.
Bang N.D., Chistyakov V.F., Chistyakova E.V. On some properties of degenerate systems of linear integro-differential equations. I. Bulletin of the Irkutsk State University. Series "Mathematics". 2015. No. 11. P. 13–27. (in Russian)
Bulatov M.V., Ming-Gong Lee. Application of matrix polynomials to the analysis of linear differential-algebraic equations of higher order. 2008. Vol. 44, no. 10. P. 1299–1305.
Boyarintsev Yu.E. Regular and singular systems of linear ordinary differential equations. Novosibirsk, Nauka Publishing House, 1980. 222 p. (in Russian)
Lancaster P. Theory of Matrices. Academic Press, 1985. 570 p.
Gantmacher F.R. Matrix theory. Moscow, Nauka Publishing House, 1967. 577 p. (in Russian)
Krasnov M.L. Integral equations: an introduction to the theory. Moscow, Nauka Publishing House, 1975. 302 p. (in Russian)
DOI: http://dx.doi.org/10.14529/cmse210301