Сравнение целевых функций в задаче Прони для аппроксимации данных измерений

Андрей Александрович Ломов, Елизавета Александровна Русинова

Аннотация


В работе проводится сравнение двух целевых функций в задаче Прони аппроксимации данных измерений решениями линейного дифференциального уравнения заданного порядка с постоянными коэффициентами. Целевые функции различаются типом зависимости градиента от коэффициентов уравнения (линейная или со сложной нелинейностью) и являются 1) нормой невязки уравнения (линейный метод наименьших квадратов) или 2) нормой ошибки аппроксимации по А. Хаусхолдеру (вариационный метод идентификации). В последнем случае производится совместная оптимизация коэффициентов дифференциального уравнения и начальных условий решения. Для рассмотренных целевых функций вычислены константы локальной устойчивости решения задачи Прони с использованием локальных разложений зависимостей оптимальных коэффициентов уравнения как неявных функций от данных из условия равенства градиента целевой функции нулю. На этой основе предложен способ определения допустимой погрешности в данных задачи для обеспечения заданного уровня отклонения решения от истинного значения. На примере К. Ланцоша вычисления показателей экспонент по наблюдениям суммы трех экспонент с ошибками округления показано существенное преимущество (с точки зрения допустимой погрешности в данных) использования вариационной целевой функции. Адекватность используемых локальных показателей устойчивости для немалых возмущений проверяется численным экспериментом.

Ключевые слова


аппроксимация данных измерений; задача Прони; пример К. Ланцоша выделения показательных функций; локальная устойчивость; метод наименьших квадратов; вариационный метод

Полный текст:

PDF

Литература


Marple S.L. Digital spectral analysis: with applications. USA: Prentice-Hall, 1986. 492 p.

Berdyshev V.I., Petrak L.V. Function approximation, compression of numerical information, applications. Ekaterinburg: UB RAN, 1999. 296 p. (in Russian)

Householder A.S. On Prony’s method of fitting exponential decay curves and multiple-hit survival curves. Oak Ridge National Lab. Report ORNL–455. 1950. Oak Ridge, Tennessee. URL: http://www.technicalreports.org/trail/detail/11105 (accessed: 15.12.2021).

Egorshin A.O. Least squares method and the “fast” algorithms in variational problems of identification and filtration (VI method). Avtometriya. 1988. No. 1. P. 30–42. (in Russian). URL: http://www.iae.nsk.su/images/stories/5_Autometria/5_Archives/1988/1/30-42.pdf (accessed: 15.12.2021).

Fuller W.A. Measurement Error Models. New York: Wiley, 1987. 440 p.

Lomov A.A. On Quantitative A Priori Measures of Identifiability of Coefficients of Linear Dynamic Systems. Journal of Computer and System Sciences International. 2011. Vol. 50, no. 1. P. 1–13. DOI: 10.1134/S106423071101014X.

Lomov A.A., Fedoseev A.V. Comparison of Parameter Identification Methods for Linear Dynamic Systems Under Mixed Noise. Springer Journal of Mathematical Sciences. 2021. Vol. 253, no. 3. P. 407–418. DOI: 10.1007/s10958-021-05238-0.

Lanczos C. Applied analysis. USA: Prentice Hall, 1956. 539 p.

Lomov A.A. On Convergence of Computational Algorithms for a Variational Problem of Identifying the Coefficients of Difference Equations. Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2020. Vol. 14, no. 3. P. 541–554. DOI: 10.1134/S1990478920030138.

de Prony G. Essai éxperimental et analytique: sur les lois de la dilatabilité de fluides élastique et sur celles de la force expansive de la vapeur de l’alkool, à différentes températures. Journal de l’école Polytechnique. 1795. Vol. 1, no. 22. P. 24–76. URL: http://users.polytech.unice.fr/~leroux/PRONY.pdf (accessed: 15.12.2021).

Mitrofanov G.M., Priimenko V.I. Basics and Applications of the Prony filtering. Tehnologii seismorazvedki. 2011. No. 3. P. 93–108. (in Russian)

Kolomeytseva A.V., Mishugova G.V., Mool A.P., Ryabykh G.Yu. Application of the wavelet transform and the Prony method for the identification of biogenic signals. Vestnik DGTU. 2010. Vol. 10, no. 4. P. 455–465. (in Russian)

Bjorck A. Numerical methods for least squares problems. USA: SIAM, 1996. 425 p. DOI: 10.1137/1.9781611971484.ch1.

Keller I., Plonka G. Modifications of Prony’s Method for the Recovery and Sparse Approximation with Generalized Exponential Sums. Approximation Theory XVI / ed. by G.E. Fasshauer, M. Neamtu, L.L. Schumaker. Cham: Springer International Publishing, 2021. P. 123–152. DOI: 10.1007/978-3-030-57464-2_7.

Osborne M.R. A class of nonlinear regression problems. Data representation / ed. by R.S. Anderssen, M.R. Osborne. St. Lucia: University of Queensland Press, 1970. P. 94–101.

Egorshin A.O., Budyanov V.P. Smoothing of signals and estimation of dynamic parameters in automatic systems using a digital computer. Avtometriya. 1973. No. 1. P. 78–82. (in Russian) URL: https://www.iae.nsk.su/images/stories/5_Autometria/5_Archives/1973/1/78-82.pdf (accessed: 15.12.2021).

Bryson A.E., Ho Y.-C. Applied Optimal Control: Optimization, Estimation and Control. Waltham, MA: Blaisdell. 1969. 481 p.

Egorshin A.O. On discretization of linear differential equations. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematiсal Modelling, Programming & Computer Software. 2012. Vol. 40(299), no. 14. P. 59–72. (in Russian) URL: https://mmp.susu.ru/article/en/179 (accessed: 15.12.2021).




DOI: http://dx.doi.org/10.14529/cmse220202