Двухсеточные параллельные алгоритмы для решения дробно-дифференциальых уравнений аномальной диффузии

Станислав Юрьевич Лукащук

Аннотация


Приводятся описание и анализ параллельных алгоритмов решения начально-краевых задач для уравнений аномальной диффузии, содержащих производные дробного порядка типа Римана-Лиувилля по пространственным и/или временной переменным. Параллельные алгоритмы построены на основе двухсеточного подхода. При этом грубая сетка используется для расчета эффектов пространственного и временного дальнодействия с использованием сплайн-аппроксимации, а мелкая сетка служит для конечно-разностной дискретизации решаемых уравнений. Рассматриваются алгорит-мы с декомпозицией как по пространству, так и по времени. Для распараллеливания по времени используется подход, предложенный в известном алгоритме PARAREAL. Приводятся теоретические оценки параллельной эффективности предложенных алгоритмов. Показано, что алгоритмы имеют сверхлинейное ускорение по сравнению с классическим последовательным конечно-разностным алгоритмом и обеспечивают тот же порядок точности вычислений при условии согласованного выбора шагов точной и грубой сеток. Также приводятся некоторые результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие эффективность предложенных алгоритмов.

 


Ключевые слова


двухсеточный параллельный алгоритм, аномальная диффузия, дифференциальное уравнение дробного порядка

Полный текст:

PDF

Литература


Bouchaud, J.P. Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms, models and physical applications / J.P. Bouchaud, A. Georges // Phys. Rep. – 1990. – Vol. 195. – P. 127–293.

Metzler, R. The random walk’s guide to anomalous diffusion: A fractional dynamic approach / R. Metzler, J. Klafter // Phys. Rep. – 2000. – Vol. 339. – P. 1–77.

Учайкин, В.В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы /В.В. Учайкин // УФН. – 2003. – Т. 173, № 8. – C. 847–876.

Самко, С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев – Минск: Наука и техника, 1987.

Podlubny, I. Fractional differential equations / I. Podlubny – Academic press, San Diego, 1999.

Учайкин, В.В. Метод дробных производных / В.В. Учайкин – Ульяновск: Изд-во «Артишок», 2008.

Лукащук, С.Ю. Модификация алгоритма PARAREAL для решения дифференциальных уравнений дробного порядка. / С.Ю. Лукащук // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ’2010): Труды международной научной конференции. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2010. – С. 519–524.

Прямые задачи неклассического переноса радионуклидов в геологических формациях / В.М. Головизнин, В.П. Киселев, И.А. Короткин, Ю.И. Юрков // Известия Академии наук, серия «Энергетика». – 2004. – № 4. – C. 121–132.

Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко – М.: Наука, 1980.

Lions, J.-L. Resolution d’edp par un schema en temps parareal / J.-L. Lions, Y. Maday, G. Turinici // C.R. Acad Sci. Paris. Ser. I Math. – 2001. – Vol. 332. – P. 661–668.

Maday, Y. The Parareal in Time Iterative Solver: a Further Direction to Parallel Implementation / Y. Maday, G. Turinici // Lecture Notes in Computational Science and Engineering: Domain Decomposition Methods in Science and Engineering XVIII. – 2005. – Vol. 40. – P. 441–448.

Staff, G.A. Stability of the Parareal Algorithm / G.A. Staff, E.M. Ronquist // Lecture Notes in Computational Science and Engineering: Domain Decomposition Methods in Science and Engineering XVIII. – 2005. – Vol. 40. – P. 449–456.

Gander, M.J. On the Superlinear and Linear Convergence of the Parareal Algorithm / M.J. Gander, S. Vandewalle // Lecture Notes in Computational Science and Engineering: Domain Decomposition Methods in Science and Engineering XVI. – 2007. – Vol. 55. – P. 291–298.

Gander, M.J. Analysis of the parareal time-parallel time-integration method / M.J. Gander, S. Vandewalle // SIAM J. Sci. Comput. – 2007. – Vol. 29, No. 2. – P. 556–578.

Fischer, P.F. A Parareal in time semi-implicit approximation of the Navier-Stokes equations / P.F. Fischer, F. Hecht, Y. Maday // Lecture Notes in Computational Science and Engineering: Domain Decomposition Methods in Science and Engineering XVIII. – 2005. – Vol. 40. – P. 433–440.

Bal, G. Symplectic Parareal / G. Bal, Q. Wu // Lecture Notes in Computational Science and Engineering: Domain Decomposition Methods in Science and Engineering XVII. – 2008. – Vol. 60. – P. 401–408.




DOI: http://dx.doi.org/10.14529/cmse120208