On Solution of Solid State Physics Inverse Problem by Means of A.N. Tikhonov’s Regularization Method and Estimation of the Error of This Method

Vitaly P. Tanana, Anna I. Sidikova

Abstract


The paper considers one-dimensional Fredholm integral equation of the first kind with a closed core. It is known that the equation has a unique solution in the space $W_2^1[a,b]$. We use Tikhonov’s regularization method of the first-order to solve the equation. The method allows us to reduce the equation to a variational problem. Solving the variational problem we get integro-differential equation of second order. We apply the finite-difference approximation method to reduce the original problem to a system of algebraic equations. regularization parameter.
We obtain an error estimate for the proposed algorithm taking into account the error of finitedifference approximation and state the relation between the approximation with the error and the regularization parameter and the error of the initial data.
This algorithm is used to solve the problem of determining the phonon spectrum of the crystal given its heat capacity.


Keywords


regularization, the method of residuals, the modulus of continuity, error estimation, ill-posed problem

References


Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. / А.Н. Тихонов // Докл. АН СССР. — 1963. — Т. 151, № 3. — С. 501–504.

Лифшиц, И.М. Об определении энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемкости. / И.М. Лифшиц // Журн. эксперимент. и теор. физики. — 1959. — Т. 26, № 5. — С. 551–556.

Иверонова, В. И., Тихонов, А.Н., Заикин, П. Н., Звягина, А.П. Определение фононного спектра кристаллов по теплоемкости / В.И. Иверонова, А.Н. Тихонов, П.Н. Заикин, А.П. Звягина // Физика твердого тела. — 1966. — Т. 8, № 12.— С. 3459–3462.

Танана, В.П., Сидикова, А.И. Об оценке погрешности регуляризующего алгоритма, основанного на обобщенном принципе невязки, при решении интегральных уравнений / В.П. Танана, А.И. Сидикова // Журн. вычисл. методы и програм. — 2015. — Т. 16, № 1. — С. 1–9.

Морозов, В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации./ В.А. Морозов // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. — 1966. — Т. 6, № 1. — C. 170–175.

Иванов, В.К., Королюк, Т.И. Об оценке погрешности при решении линейных некорректно поставленных задач. / В.К. Иванов, Т.И. Королюк // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1969. — Т. 9, № 1.— С. 30–41.

Танана, В.П., Бояршинов, В.В. О единственности решения обратной задачи определения фононных спектров кристалла / В.П. Танана, В.В. Бояршинов // Деп. в ВИНИТИ. — 1987. — № 892-В87.

Танана, В.П., Ерыгина, А.А. Оценка погрешности метода регуляризации А.Н. Тихонова при решении одной обратной задачи физики твердого тела / В.П. Танана, А.А. Ерыгина // Сиб. журн. индустр. матем. — 2014. — Т. 17, №2. — С. 125–136.




DOI: http://dx.doi.org/10.14529/cmse160104