Метод решения обратной задачи идентификации функции источника с использованием преобразования Лапласа

Наталья Михайловна Япарова

Аннотация


В статье предложен метод решения задачи идентификации неизвестной функции источника в параболическом уравнении с постоянными коэффициентами с граничными условиями Дирихле и Неймана. Представленный метод основан на использовании прямого и обратного преобразований Лапласа, что позволило свести исходную задачу к решению интегрального уравнения Вольтерра первого рода, характеризующую прямую зависимость неизвестной функции источника от известных граничных условий. Для численного решения полученного уравнения предлагается использовать регуляризующие алгоритмы. В качестве одного из параметров регуляризации в предложенном численном методе выступает количество слагаемых в конечномерном аналоге ядра. С целью оценки эффективности предложенного подхода и получения экспериментальных оценок погрешности численных решений задачи идентификации функции источника был проведен вычислительный эксперимент. Результаты эксперимента  свидетельствуют о достаточной устойчивости численных решений, полученных на основе предложенного метода.


Ключевые слова


идентификации функции источника; преобразования Лапласа; уравнения Вольтерра; численные методы; вычислительный эксперимент

Полный текст:

PDF

Литература


Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена/ О.М. Алифанов— М.: Машиностроение, 1988.— 280 с.

Erdogan A.S. A note on the numerical solution of an identification problem for observing two-phase flow in capillaries/ A.S. Erdogan, A.U. Sazaklioglu// Mathematical method in the Applied Sciences.—2014.—Vol.37, N 16.—P. 2393-2405.

Zenkour A.M., Vibration of FG nanobeams induced by sinusoidal pulse-heating via a nonlocal thermoelastic model/ A.M. Zenkour, A.E. Abouelregal // ACTA Mechanica.—2014.—Vol. 225, N 12.–P. 3409-3421.

Вабищевич П. Н. Численное решение задачи идентификации правой части параболического уравнения/ П.Н. Вабищевич //Изв. вузов. Матем.—2003.—№ 1(488), С. 9-36.

Гольдман Н.Л. Однозначность определения функции источника в квазилинейной обратной задаче Стефана с финальным наблюдением/ Н.Л. Гольдман// Доклады РАН.— 2012.— т. 444, № 6. С. 597-601.

Прилепко А.И. Корректность обратной задачи об источнике для параболических систем. /А.И. Прилепко, Д.С. Ткаченко // Дифференциальные уравнения. — 2004.—т. 40, № 11. С. 1540—1547.

Черепанова О.Н. Об одной задаче идентификации функции источника в параболическом уравнении/ О.Н. Черепанова, Т.Н. Шипина// Журн. СФУ, Сер. Матем. и физ.—2009.— т. 2,№3, С. 370-375.

Hasanov A. Identification of an unknown time-dependent heat source term from overspecified Dirichlet boundary data by conjugate gradient method/ A. Hasanov, B. Pektas// Computers and Mathematics with Applications.—2013.—Vol. 65, N 1.—P. 42–57.

Cialkowski M. A sequential and global method of solving an inverse problem of heat conduction equation/ M. Cialkowski, K. Grysa//Journal of Theoretical and Applied Mechanics.—2010.—

Vol. 48, N 1.—P. 111-134.

M. Monde. An analytical solution for two-dimensional inverse heat conduction problems using Laplace transform / M. Monde, H. Arima, W. Liu, Y. Mitutake, J.A. Hammad // International Journal of Heat and Mass Transfer.—2003.—Vol. 46.—P. 2135-2148.

Япарова Н.М. Метод решения одной обратной задачи идентификации функции источника для систем с распределенными параметрами. / Н.М. Япарова // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. – 2015.—т. 20, № 5. С. 1549—1552.

Солодуша С.В. Численное решение обратной граничной задачи теплопроводности с помощью уравнений Вольтерра I рода/С.В. Солодуша, Н.М. Япарова // Сиб. журн. выч. матем.— 2015.— т. 18, №3. С. 327-335.

Yaparova N. Numerical Methods for Solving a Boundary Value Inverse Heat Conduction Problem /N. Yaparova// Inverse Problems in Science and Engineering.–2014.—Vol.22, N 5.— P. 832-847.

Апарцин А.С., Бакушинский А.Б. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратурных сумм // Дифференц. и интегр. ур-ния, Иркутск, Иркут. гос. ун-т.— 1972.— Вып. 1.— C. 248-258.

Васин В.В. Регулярный алгоритм аппроксимации негладких решений для интегральных уравнений Фредгольма первого рода/ В.В. Васин, Т.И. Сережникова// Выч. технологии,—2010.—т.15, №2, С. 15-23.

Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи/ Кабанихин С.И.– Новосибирск. Сиб. научное издание, 2009 — 457 с.

Королев Ю.М. Оценка погрешностив линейных обратных задачах при наличии априорной информации/ Ю.М. Королев, А.Г. Ягола // Выч. методы и программирование:новые выч. технологии.—2012.—т.13, № 1(25), C. 14-18.

Bushuev I. Global uniqueness for inverse parabolic problems with final observation. / I.Bushuev // Inverse Problems.— 1995.— Vol.11, N 4. — P. L11–L16.

Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования / Г. Деч— М.: Наука, 1971.— 291 с.

Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию / М.Л. Краснов — М.: Наука, 1975— 302 с.

Лаврентьев М.М. (1973) Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений / М.М. Лаврентьев— Новосибирск: НГУ, 1973.— 71с.

Леонов А.С. О квазиоптимальном выборе параметра регуляризации в методе Лаврентьева /А.С. Леонов// Сиб. матем. журн.— 1993.— т. 34, № 4. С. 695-703.




DOI: http://dx.doi.org/10.14529/cmse160302