Алгоритм динамической реконструкции входов стохастического дифференциального уравнения: настройка параметров и численные эксперименты

Лидия Антоновна Мельникова, Валерий Львович Розенберг

Аннотация


Задача реконструкции неизвестных входов стохастического дифференциального уравнения исследуется с позиций подхода теории динамического обращения. Рассматривается постановка, в которой одновременное восстановление возмущений в детерминированном и стохастическом членах уравнения проводится на основе дискретной информации о некотором количестве реализаций случайного процесса. Задача сводится к обратной задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют математическое ожидание и ковариационная матрица исходного процесса. Разработан программно-ориентированный алгоритм решения, основанный на конструкциях теории позиционного управления с моделью; получена оценка его точности относительно количества доступных измерению реализаций. Предложена программная процедура настройки параметров алгоритма для получения наилучшего результата аппроксимации различных возмущений, удовлетворяющих априорным ограничениям, в конкретной динамической системе. Искомые зависимости параметров алгоритма от количества измеряемых реализаций определяются эмпирически через решение специальной экстремальной задачи, в которой минимизируется отклонение выхода алгоритма от тестовой функции. Для оптимизации времяемкого процесса адаптации алгоритма к системе, предполагающего моделирование большого числа независимых траекторий стохастического уравнения, используется распараллеливание вычислений. Приведен модельный пример, иллюстрирующий предложенные конструкции. Рассмотрена система, упрощенно описывающая популяционную динамику двух взаимодействующих видов. Представлены результаты расчетов и характеристики эффективности распараллеливания.


Ключевые слова


стохастическое дифференциальное уравнение; динамическая реконструкция; управляемая модель; настройка параметров; распараллеливание вычислений

Полный текст:

PDF

Литература


Kryazhimskii A.V., Osipov Yu.S. Modelling of a Control in a Dynamic System. Engrg. Cybernetics. 1984. vol. 21, no. 2, pp. 38–47.

Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V., Maksimov V.I. Dynamic Recovery Methods for Inputs of Control Systems. Yekaterinburg, Publishing of the UB of RAS, 2011. 291 p. (in Russian)

Maksimov V.I. Dynamical Inverse Problems of Distributed Systems. VSP, Utrecht–Boston, 2002. 269 p.

Krasovskii N.N., Subbotin A.I. Game-Theoretical Control Problems. Springer, New York, 1988. 517 p.

Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Solutions of Ill-Posed Problems. Wiley, New York, 1981. 258 p.

Blizorukova M.S., Maksimov V.I. On a Reconstruction Algorithm for the Trajectory and Control in a Delay System. Proc. Steklov Inst. Math. 2013. vol. 280, no. 1, pp. S66–S79. DOI: 10.1134/S0081543813020065.

Kadiyev A. M., Maksimov V.I. On the Reconstruction of Controls in a Parabolic Equation. Differential Equations. 2007. vol. 43, no. 11, pp. 1585–1593. DOI: 10.1134/S0012266107110134.

Kryazhimskii A.V., Osipov Yu.S. On a Stable Positional Recovery of Control from Measurements of a Part of Coordinates. Some Problems of Control and Stability. Sverdlovsk, Publishing of the UB of Academy of Sciences of the USSR, 1989. pp. 33–47. (in Russian)

Rozenberg V.L. Dynamic Restoration of the Unknown Function in the Linear Stochastic Differential Equation. Autom. Remote Control. 2007. vol. 68, no. 11, pp. 1959–1969. DOI: 10.1134/S0005117907110069.

Rozenberg V.L. Reconstruction of Random-Disturbance Amplitude in Linear Stochastic Equations from Measurements of Some of the Coordinates. Comput. Math. Math. Phys. 2016. vol. 56, no. 3, pp. 367–375. DOI: 10.1134/S0965542516030143.

Rozenberg V.L. Dynamical Input Reconstruction Problem for a Quasi-linear Stochastic System. IFAC-PapersOnLine. 2018. vol. 51, no. 32. pp. 727–732. DOI: 10.1016/j.ifacol.2018.11.460.

Oksendal B. Stochastic Differential Equations: an Introduction with Applications. Springer, Berlin, 1985. 408 p.

Korolyuk V.S., Portenko N.I., Skorokhod A.V., Turbin A.F. Handbook on Probability Theory and Mathematical Statistics. Moscow, Nauka, 1985. 640 p. (in Russian)

Chernous’ko F.L., Kolmanovskii V.B. Optimal Control under Random Perturbation. Moscow, Nauka, 1978. 272 p. (in Russian)

Milshtein G.N. Numerical Integration of Stochastic Differential Equations. Sverdlovsk, Publishing of the Ural State University, 1988. 224 p. (in Russian)

Gergel’ V.P. Theory and Practice of Parallel Computing. Moscow, Binom, 2007. 424 p. (in Russian)




DOI: http://dx.doi.org/10.14529/cmse190402