Направленные сплайны и их использование для сглаживания выбросов и изломов интерполянта
Аннотация
Сформулирован и предложен метод построения направленного кубического сплайна для набора точек на плоскости. Проведено сравнение сплайна с B-сплайном Шёнберга, сплайнами Акимы и Катмулла—Рома. Показано, что для неравноотстоящих точек в сравнении с B-сплайном он дает значительно меньшие выбросы и практически лишен сильных изломов, которые свойственны сплайнам Акимы. Сплайн не дает петель и осцилляций, которые являются характерным недостатком параметрических сплайнов, в частности, эрмитовых, к числу которых относится сплайн Катмулла—Рома. Предложен быстрый метод оптимизации направляющего коэффициента сплайна, цель которой состоит в минимизации разрывов второй производной функции в ее промежуточных точках. Приведен пример оптимизации направленного сплайна третьего порядка. Также предложен направленный сплайн четвертого порядка, который лишен изломов. Сформулирован метод оптимизации направленного сплайна четвертого порядка, изложен алгоритм его оптимизации. Критериями оптимизации являются длина сплайна и наименьшее расстояние между его глобальными максимумом и минимумом. Показано, что в сравнении с сплайна Шёнберга направленный сплайн четвертого порядка имеет меньшие выбросы. Предложен метод автоматического притупления острых пиков кривых, который можно применять ко всем типам сплайнов.
Ключевые слова
Полный текст:
PDFЛитература
Powell M.J.D. Approximation Theory and Methods. Cambridge University Press, 1981. 352 p. DOI: 10.1017/CBO9781139171502.
Atkinson K.A. An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.). John Wiley and Sons, 1988. 615 p.
Watson G.A. Approximation Theory and Numerical Methods. John Wiley, 1980. 229 p.
Schatzman M. Numerical Analysis: A Mathematical Introduction. Clarendon Press, 2002. 496 p.
Schoenberg I.J. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic functions. Quart. Appl. Math. 1946. Vol. 4. P. 45–99, 112–141.
Ahlberg J.H., Nilson E.N., Walsh J.L. The Theory of Splines and Their Application. Academic Press, 1967. 296 p.
David F., Rogers J., Adams A. Mathematical Elements for Computer Graphics. McGraw-Hill Science / Engineering / Math, 2 edition, 1989. 611 p.
Cohen D. Incremental Methods for Computer Graphics. PhD Thesis. Harvard University, 1969.
Warnock J.E. A Hidden Surface Algorithm for Computer-Generated Halftone Pictures. Computer Science Department, University of Utah, TR 1–15. 1969.
Watkins G.S. A Real-Time Visible Surface Algorithm. Computer Science Department, University of Utah, UTECH-CSC-70-101, 1970.
Akima H. A New Method of Interpolation and Smooth Curve Fitting Based on Local Procedures. Journal of the ACM. 1970. Vol. 17, no. 4. P. 589–602. DOI: 10.1145/321607.321609.
Catmull E., Rom R. A class of local interpolating splines. Computer Aided Geometric Design. 1974. P. 317–326.
Barry P.J., Goldman R.N. Recursive evaluation algorithm for a class of Catmull-Rom splines. Computer Graphics. 1988. Vol. 22, no. 4. P. 199–204. DOI: 10.1145/378456.378511.
Kiefer J.K. Sequential minimax search for a maximum. P. Am. Math. Soc. 1953. P. 502–506.
Brent R.P. Algorithms for Minimization without Derivatives. Dover, 2002. 195 p.
Krukovets A.S., Gorelkin G.A. Development of a method for interpolating the values of the nomogram. Modern scientific research and innovations. 2015. No. 5(2). URL: http://web.snauka.ru/issues/2015/05/53846 (accessed: 14.06.2020) (in Russian)
Dobson A.J. An Introduction to Statistical Modelling. Chapman and Hall, London, 1983.
Kodnyanko V.A. On computational redundancy of the dichotomous search and conditional minimization of unimodal functions by the economical dichotomous search. Systems and means of informatics. 2019. Vol. 29, no. 1. P. 164–173. DOI: 10.14357/08696527190113 (in Russian)
Ruckdeschel F.R. Basic scientific subroutines. Vol. 2. BYTE/McGRAW-HILL, 1981.
Yanenko N.N., Kvasov B.I. An Iterative Method for Constructing Polycubic Spline Functions. Dokl. USSR Academy of Sciences. 1970. Vol. 195, no. 5. P. 1055–1057. (in Russian)
Constantini P., Morandi R. An algorithm for computing shape-preserving cubic spline interpolation to data. Calcolo. 1984. Vol. 21. P. 295–305.
Ryabenky V.S. Local formulas for smooth completion and smooth interpolation of functions by their values at nodes of an uneven rectangular grid. Preprint, Inst. mathematics of the Academy of Sciences of the USSR. IPM. 1974. No. 21. (in Russian)
Dietze S., Schmidt J.W. Determination of shape preserving spline interpolants with minimal curvature via dual programs. J. Approxim. Theory. 1988. Vol. 52, no. 1. P. 43–57.
Zavyalov Yu.S., Kvasov B.I., Miroshnichenko V.L. Methods of spline functions. Moscow, Nauka, 1980. (in Russian)
Miroshnichenko V.L. Isogeometric properties and approximation error for weighted cubic splines. Computing Systems. Novosibirsk: IM SB RAS, 1995. Vol. 154. P. 127–154. (in Russian)
Korneychuk N.P., Babenko V.F., Ligun A.A. Extreme properties of polynomials and splines. Kiev, Naukova Dumka, 1992. 304 p. (in Russian)
Dzyubenko G.A., Gilewicz J., Shevchuk I. A. New phenomena in coconvex approximation. Analysis Mathematica. 2006. Vol. 32, no. 2. P. 113–121. DOI: 10.1007/s10476-006-0005-x.
Stechkin S.B., Subbotin Yu.N. Splines in computational mathematics. Moscow, Nauka, 1976. 248 p. (in Russian)
Volkov Yu.S. A new method for constructing interpolation cubic splines. Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2004. Vol. 44, no. 2. P. 231–241. (in Russian)
Kodnyanko V.A. Video DS4-spline optimization 1. URL: http://smiuk.sfu-kras.ru/kodnyanko/site/science/Video1.mp4 (accessed: 12.07.2020).
Kodnyanko V.A. Video DS4-spline optimization 2. URL: http://smiuk.sfu-kras.ru/kodnyanko/site/science/Video2.mp4 (accessed: 12.07.2020).
Kodnyanko V.A. Video DS4-spline optimization 3. URL: http://smiuk.sfu-kras.ru/kodnyanko/site/science/Video3.mp4 (accessed: 12.07.2020).
DOI: http://dx.doi.org/10.14529/cmse210101