The computation of ranks of unit groups of integral group rings of finite groups
DOI:
https://doi.org/10.14529/cmse150107Keywords:
group character, central unit, rank of Abelian group, GAP systemAbstract
The study of central units (central invertible elements) of integral group rings is encountered to difficult calculations almost everywhere, both in the case of finding of individual central unit and in the case of describing of group of central elements.
By virtue of torsion part of central unit group is trivial (up to sign those are elements of center group) it is more interesting to find data about torsion free part that is direct product infinite cyclic groups. The number of such infinite factors is the rank of central unit group. Therefore the ranks of central unit groups of integral group rings of finite groups are the very important characteristic those groups.
So that the computation ranks of central unit groups has big interest for study of central unit groups. In the paper we point out the formulas for computation of ranks in general case and some important particular cases. On the base of those formulas we compute the ranks in quite large ranges. We used computer algebra system GAP. The results are shown on tables and graph.
References
Алеев, Р.Ж. Теория центральных единиц целочисленных групповых колец групп P SL2(2n) / Р.Ж. Алеев // Сб. научн. трудов «Комбинат. и вычислит. методы в матем.». — Омск: ОмГУ , 1999. — C. 1–19.
Алеев, Р.Ж. Центральные единицы целочисленных групповых колец конечных групп: дисс. . . . д-ра физ.-мат. наук. / Р.Ж. Алеев — Челябинск, 2000. — 355 с.
Алеев, Р.Ж. Теория групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп Sz(q) / Р.Ж. Алеев, Н.Б. Ишечкина // Труды Института математики и механики УрО РАН. — 2001. — Т.7, № 2. — С. 3–16.
Алеев, Р.Ж. Теорема разложения и ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп P GL(2, q), q нечетно / Р.Ж. Алеев, О.В. Митина // Сибирские Электронные Математические Известия. — 2008. — Т. 5. — С. 652–672.
Алеев, Р.Ж. Ранги групп центральных единиц целочисленных групповых колец групп P SL(2, q), q нечетно / Р.Ж. Алеев, О.В. Перавина // Вестник ЧелГУ, сер. «Математика. Механика». — 1999, № 1(4). — С. 5–15.
Василенко, О.Н. Теоретико–числовые алгоритмы в криптографии. / О.Н. Василенко — М.: МЦНМО, 2006. — 336 с.
Глухов, М.М. Введение в теоретико–числовые методы в криптографии. / М.М. Глухов, И.А. Круглов, А.Б. Пичкур, А.В. Черемушкин — СПб.: Изд-во «Лань», 2011. — 400 с.
Кэртис, Ч. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр: Пер. с англ. / Ч. Кэртис, И. Райнер — М.: Наука, 1969. — 668 с.
Шумакова, Е.О. Группы центральных единиц целочисленных групповых колец метациклических групп Фробениуса / Е.О. Шумакова // Сибирские Электронные Математические Известия. — 2008. — Т. 5. — С. 691–698.
Aleev, R. Z. Higman’s central unit theory, units of integral group rings of finite cyclic groups and Fibonacci numbers / R. Z. Aleev // Intern. Journ. Algebra and Computations. — 1994. — Vol. 4. — P. 309–358.
Ferraz, R. A. Simple components and central units in group rings / R.A. Ferraz // Journal of Algebra. — 2004. — Vol. 279, No. 1. — P. 91–203.
The GAP Group, GAP - Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.7.4. — 2014. URL: http://www.gap-system.org (дата обращения: 04.05.2014).
Ritter, J. Trivial units in RG / J. Ritter, S.K. Sehgal // Mathematical Proceedings of the Royal Irish Academy. — 2005. — Vol. 105A, No. 1. — P. 25–39.
Schonert, M. GAP – Groups, Algorithms, and Programming / M. Schonert et al. — Lehrstuhl D fur Mathematik, Rheinisch Westfalische Technische Hochschule, Aachen, Germany, sixth edition, 1997. URL: http://www.gap-system.org/Gap3 (дата обращения:
06.2012).
