Numerical Method for Solving an Inverse Problem for Non-linear Parabolic Equation with Unknown Initial Conditions
DOI:
https://doi.org/10.14529/cmse160204Keywords:
inverse problem, numerical method, regularization method, error estimate, computational schemeAbstract
The paper is devoted to the inverse problem for a nonlinear parabolic equation with unknown initial conditions. A computational scheme for solving this problem is proposed. This approach allows to obtain the numerical solution in internal points of domain and the unknown boundary function. The proposed scheme is based on the using of finite-difference equations and regularization technique. We investigate the local stability of computational method and stability of the numerical solutions. We obtained the dependence of stability on the discretization steps and level error of the initial data The proposed scheme proved the basis for development of numerical method and for the computational experiment. The experimental results are also presented in this paper, and confirm the effectiveness of the method.References
Алифанов, О.М. Обратные задачи теплообмена / О.М. Алифанов — М.: Машинострое-ние, 1988. – 280 с.
Самарский, А.А. Вычислительная теплопередача / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич — М.: Едиториал УРСС, 2009. – 784 с
Прокудина, Л.А. Самоорганизация возмущений в жидких пленках / Л.А. Прокудина, Г.П. Вяткин // Доклады Академии наук. — 2011. — Т. 439, № 4. С. 481–484.
Булгакова, Г.Т. Аналитическая модель вертикального вытеснения нефти водой с учетом вязкостных, гравитационных и капиллярных сил / Г.Т. Булгакова, Н.Р. Кондратьева // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. — 2012. — № 1. — С. 208–213.
Шестаков, А.Л. Методы теории автоматического управления в динамических измерениях / А.Л. Шестаков — Министерство образования и науки Российской Федерации, Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2013. — 257 с.
Мартинсон, Л.К. Температурное поле цилиндрического тела в режиме периодического разогрева / Л.К. Мартинсон, О.Ю. Чигирёва // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия: Естественные науки. — 2015. — № 3 (60). — С. 88–98.
Dorofeev, K.Y. New approaches to error estimation to Ill-posed problems with application to inverse problems of heat conductivity / K.Y. Dorofeev, N.N. Nikolaeva, V.N. Titarenko, A.G. Yagola // Journal of Inverse and Ill-posed problems. — 2002. — Vol. 10. — No 2 P.155–169.
Танана, В.П. Об оценке погрешности метода решения одной обратной задачи для па-раболического уравнения / В.П. Танана // Сибирский журнал вычислительной мате-матики. — 2010. — Т. 13, — № 4. — С. 451–465.
Табаринцева, Е.В. О решении граничной задачи для параболического уравнения ме-тодом вспомогательных граничных условий / Е.В. Табаринцева // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. 2011. — №32 (249). — С. 68–76.
Танана, В.П. Об оценке погрешности приближенного решения одной переопределен-ной обратной задачи тепловой диагностики / В.П. Танана, И.А. Гайнова, А.И. Сидикова // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2012. — Т. XV, — № 1. — С. 145–154.
Кабанихин, С.И. Прямые и итерационные методы решения обратных и некорректных задач / С.И. Кабанихин, М.А. Шишленин // Сибирские электронные математические известия. — 2008. — Т. 5, — С. 595–608.
Zhang Y. Using Lagrange principle for solving two-dimensional integral equation with a pos-itive kernel / Y. Zhang, D.V. Lukyanenko, A.G. Yagola // Inverse Problems in Science and En-gineering. — 2015. — DOI: 10.1080/17415977.2015.1077445.
Солодуша, С.В. Численное решение обратной граничной задачи теплопроводности с помощью уравнений Вольтерра I рода / С.В. Солодуша, Н.М. Япарова // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2015. — Т. 18, — № 3. — С. 327–335.
Дрозин, А.Д. Математическая модель образования кристаллическиз зардышей в пе-реохлажденном расплаве эвтектического сплава / А.Д. Дрозин, М.В. Дудоров, В.Е. Рощин, П.А. Гамов, Л.Д. Менихес // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. — 2012. — № 11 (270). — С. 66–77.
Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук — СПб.: Лань. — 2009. — 608 с.
Вабищевич, П.Н. Монотонные разностные схемы для задач конвекции / диффузии / П.Н. Вабищевич // Дифференциальные уравнения. 1994 — Т. 30, — №3. — С. 503–515.
Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, — Изд-во МГУ, 1999. — 799 с.
Камонт, З. Неявные разностные методы для эволюционных функционально-дифференциальных уравнений / З Камонт, К. Кропельницка // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2011. — Т. 14, —№ 4. — С. 361–379.
Глазырина, О.В. Исследование сходимости метода конечных элементов для решения параболических уравнений с нелинейным нелокальным пространственным опера-тором / О.В Глазырина, М.Ф. Павлова // Дифференциальные уравнения. — 2015. — Т. 51, — №7. — С. 876.
Япарова, Н.М. Численный метод решения некоторых обратных задач теплопроводности с неизвестными начальными условиями / Н.М. Япарова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. — 2015. — Т. 15, — № 2. — С. 55–65.
Япарова, Н.М. Метод решения некоторых многомерных обратных граничных задач параболического типа без начальных условий / Н.М. Япарова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. — 2015. — Т. 15, — № 2. — С. 97–108.
Самарский, А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский — М.: Наука, 1971. — 552 с.
Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева — M.: Наука. — 1967. — 736 с.
Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректных задач /А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола — Изд-во МГУ, 1990. — 115 с.
Alifanov O.M. Obratnye zadachi teploobmena [Inverse Heat Transfer Problems]. Moscow, Mashinostroenie, 1988. 280 p.
Samarskij A.A., Vabishchevich P.N. Vychislitel'naya teploperedacha [Computational Heat Transfer]. Moscow, Editorial URSS, 2003. 784 p.
Prokudina L.A. Vyatkin G.P Self-organization of perturbations in fluid films // Doklady Akademii nauk [Doklady Physics]. 2011. Vol. 56, No. 8. P. 444–447.
Bulgakova G.T., Kondrat'eva N.R. Analiticheskaya model' vertikal'nogo vytesneniya nefti vodoj s uchetom vyazkostnyh, gravitacionnyh i kapillyarnyh sil [Analytical model of vertical oil-water displacement with the account of viscous, capillary and gravity forces] // Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. seriya: Fiziko-matematicheskie nauki.[ Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Scienc-es] 2012. No. 1. P. 208–213.
Shestakov A.L. Metody teorii avtomaticheskogo upravleniya v dinamicheskih izmereniyah [The methods of control theory in dynamic measurements]. Chelyabinsk, Publishing of the South Ural State University, 2013. 257 p.
Martinson L.K., Chigiryova O.Y. Temperaturnoe pole cilindricheskogo tela v rezhime periodicheskogo razogreva [Thermal fields of a cylindrical body during cyclic heating] // Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta im. N.EH. Baumana. Seriya: Estestvennye nauki.[ Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Se-ries: Natural Sciences] 2015. No. 3(60). P. 88–98.
Dorofeev, K.Y., Nikolaeva N.N., Titarenko V.N., Yagola A.G. New approaches to error estima-tion to Ill-posed problems with application to inverse problems of heat conductivity // Journal of Inverse and Ill-posed problems. 2002. Vol. 10, No. 2 P. 155–169.
Tanana V.P. An order-optimal method for solving an inverse problem for a parabolic equa-tion // Sibirskij zhurnal vychislitelnoj matematiki [Numerical Analysis and Applications]. 2010. Vol. 3, No. 4 P. 367–371.
Tabarinceva E.V. O reshenii granichnoj zadachi dlya parabolicheskogo uravneniya metodom vspomogatel'nyh granichnyh uslovij [About solution of the boundary inverse problem for parabolic equation by means of subsidiary boundary conditions method] // Vestnik Yuzho-Uralskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya “Matematika. Mekhanika. Fizika” [Bulletin of the South Ural State University, Series: Mathematics. Mechanics. Physics]. 2011. No. 32(249) P. 68–76.
Tanana V.P., Gajnova I.A., Sidikova A.I. The estimation of approximate solutions an overdetermined inverse problem of thermal diagnostics// Sibirskij zhurnal industrialnoj matematiki [Journal of Applied and Industrial Mathematics]. 2012. Vol. XV, No. 1. P. 145–154.
Kabanihin S.I., Shishlenin M.A. Direct and iterati on methods for solving inverse and ill-posed problems // Sibirskie ehlektronnye matematicheskie izvestiya [Siberian Electronic Mathematical Reports]. 2008. Vol. 5, P. 595–608.
Zhang Y., V. Lukyanenko D.V., Yagola A.G. Using Lagrange principle for solving two-dimensional integral equation with a positive kernel // Inverse Problems in Science and En-gineering. – 2015. DOI: 10.1080/17415977.2015.1077445.
Solodusha S.V., Yaparova N.M. Numerical solving an inverse boundary value problem of heat conduction using Volterra equations of the first kind // Sibirskij zhurnal vychislitelnoj matematiki [Numerical Analysis and Applications]. 2015. Vol. 8, No. 3. P. 267–274.
Drozin A.D., Dudorov M.V., Roshchin V.E., Gamov P.A., Menihes L.D. Mathematical Descrip-tion of the Nucleation in Supercooled Eutectic Melt // Vestnik Yuzho-Uralskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya “Matematika. Mekhanika. Fizika” [Bulletin of the South Ural State University, Series: Mathematics. Mechanics. Physics]. 2011. No. 11(270). P. 66–77.
Marchuk G.I. Metody vychislitel'noj matematiki [Methods of Computational Math-ematics].St. Petersburg, Publishing of the Lan’, 2009. 608 p.
Vabishchevich P.N. Monotone finite-difference schemes on triangular grids for convection-diffusion problems // Differencialnye Uravneniya [Differential Equations]. 1994. Vol. 42, No. 9. P. 1317–1330.
Tihonov A.N. Samarskij A.A. Uravneniya matematicheskoj fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Mouscow, Publishing of the Mouscow State University, 1999. 799 p.
Kamont Z., Kropelnicka K. Implicit difference methods for evolution functional differential equations // Sibirskij zhurnal vychislitelnoj matematiki [Numerical Analysis and Applica-tions]. 2011. Vol. 14, No. 4 P. 361–379.
Glazyrina O.V. Pavlova M.F. Study of the convergence of the finite-element method for para-bolic equations with a nonlinear nonlocal spatial operator // Differencialnye Uravneniya [Differential Equations]. 2015. Vol. 51, No. 7. P. 872–885.
Yaparova N.M. Numerical method for solving some inverse heat conduction problems with unknown initial conditions // Vestnik Yuzho-Uralskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya “Komp'yuternye tekhnologii, upravlenie, radioehlektronika” [Bulletin of the South Ural State University, Series: Computer Technologies, Automatic Control & Radioelectronics]. 2015. No. 2. P. 55–65.
Yaparova N.M. Method for solving some multidimensional inverse boundary value problems for parabolic PDEs without conditions // Vestnik Yuzho-Uralskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya “Komp'yuternye tekhnologii, upravlenie, radioehlektronika” [Bulletin of the South Ural State University, Series: Computer Technologies, Automatic Control & Radioelectronics]”. 2015. No. 3. P. 97–108.
Samarskij A.A. Vvedenie v teoriyu raznostnyh skhem [The theory of difference shemes]. Mouscow, Nauka, 1971. 552 p.
Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Uralceva N.N. Linejnye I kvazilinejnye uravneniya parabolicheskogo tipa [Linear and quasi-linear parabolic equations]. Mouscow, Nauka, 1967. 736 p.
Tihonov A.N., Goncharskij A.V., Stepanov V.V., YAgola A.G. Chislennye metody resheniya nekorrektnyh zadach [Numerical methods for the solution of ill-posed problems]. Mouscow, Publishing of the Mouscow State University, 1990. 115 p.
