On One Equation of Internal Waves

Аннотация

В статье приводится аналитическое исследование одного уравнения внутренних волн, в некоторых источниках именуемое уравнением Пуанкаре, выведенное из основной системы гидродинамики. Данное уравнение характеризует распространение волн в толще однородной несжимаемой стратифицированной и, в отличии от уравнения Соболева, невращающейся жидкости. Рассмотрен случай, когда частота плавучести есть величина постоянная. Для уравнения внутренних волн рассматривается задача Коши–Дирихле. Данное уравнение имеет различные приложения в гидродинамике, например, при исследовании волн в океане. Исследование уравнения проводится в рамках теории полиномиально ограниченных пучков операторов. Уравнение внутренних волн редуцируется к задаче Коши абстрактному полулинейному уравнению соболевского типа второго порядка. Затем показывается, что решение поставленной задачи удовлетворяет абстрактной теории. Далее рассмотрены два примера. В первом примере область ограничена параллелепипедом, а во втором – цилиндром. Для каждого случая области показано, что относительный спектр пучка операторов ограничен, частотой плавучести. После строятся пропагаторы, разрешающие оператор-функции, для уравнения внутренних волн для каждой из областей. Подставив начальные данные в пропагаторы, получим аналитическое решение задачи Коши для уравнения внутренних волн.