On Uniqueness in the Problems of Determining Point Sources in Mathematical Models of Heat and Mass Transfer

Аннотация

В работе рассмотрены задачи об определении точечных источников для математических моделей тепломассопереноса. В качестве условий переопределения берутся значения решения (концентраций) в некоторых точках лежащих внутри области. Рассматривается параболическое уравнение второго порядка, в правой части которого присутствует линейная комбинация дельта-функций Дирака δ(x–xi) с коэффициентами, зависящими от времени и характеризующими мощность источников. Рассматриваются несколько различных задач, в том числе задача определения интенсивностей источников в случае, если их местоположение задано.
В этом случае мы приводим теорему единственности решений, доказательство которой основано на теореме Фрагмена–Линделефа. Далее в модельном случае мы рассматриваем задачу об одновременном определении мощностей источников и их местоположения. Описаны условия на числе замеров (условий переопределения), когда решение определяется единственным образом. Приведены примеры, показывающие точность полученных результатов. Проблема возникает при решении экологических задач, прежде всего задач определения источников загрязнения в водоеме или атмосфере. Результаты важны при построении численных алгоритмов решения задачи. В литературе такие задачи решаются численно с помощью сведения задачи к задаче оптимального управления и минимизации соответствующего целевого функционала. Примеры показывают, что такой способ решения не всегда корректен, поскольку целевой функционал может иметь значительное количество минимумов.