Решение задачи Рикье–Неймана для полигармонического уравнения в шаре

Аннотация

Определяется элементарное решение полигармонического уравнения и приводятся его свойства. Это элементарное решение совпадает с известными ранее элементарными решениями бигармонического и тригармонического уравнений. Используя введенное элементарное решение, находится интегральное представление решений неоднородного полигармонического уравнения в ограниченной области с гладкой границей. На основе полученного интегрального представления исследуется разрешимость задачи Рикье–Неймана. Сначала определяется понятие функции Грина задачи Рикье–Неймана, а затем доказывается существование так определенной функции Грина. Затем, используя интегральное представление решений полигармонического уравнения и функцию Грина задачи Рикье–Неймана, находится интегральное представление решения задачи Рикье–Неймана в единичном шаре. Приведен пример решения задачи Неймана для уравнения Пуассона с простейшей правой частью, необходимый в дальнейшем.
На основе функции Грина задачи Рикье–Неймана доказана теорема об интегральном представлении решения краевой задачи Рикье–Неймана с граничными данными, интеграл от которых по единичной сфере обращается в нуль. В заключение на основании доказанной теоремы приводится пример вычисления решения задачи Рикье–Неймана с граничными функциями, совпадающими со следами однородных гармонических полиномов на единичной сфере.