Classification of Prime Projections of Knots in the Thickened Torus of Genus 2 with at most 4 Crossings

Аннотация

Мы начинаем классификацию примарных узлов в утолщенном торе рода 2, имеющих диаграммы с не более чем 4 перекрестками. Классификация проводится в два шага. На первом шаге строится таблица примарных проекций с не более чем 4 перекрестками. На втором шаге полученная таблица используется для построения таблицы примарных диаграмм, т.е. таблицы примарных узлов. В этой статье мы представляем результат первого шага, т.е. строим таблицу всех примарных проекций узлов в утолщенном торе рода 2, имеющих не более 4 перекрестков. Таблица строится в три этапа. На первом этапе мы вводим определение примарной проекции узла в утолщенном торе рода 2. На втором этапе мы строим таблицу примарных проекций узлов в утолщенном торе рода 2, имеющих не более 4 перекрестков. Для этого мы перечисляем графы специального вида и рассматриваем все возможные вложения этих графов в тор рода 2, которые приводят к примарым проекциям. Здесь мы доказываем несколько вспомогательных утверждений, сокращающих перечисление таких вложений. Наконец, на третьем этапе, мы доказываем, что все полученные проекции неэквивалентны. Ряд известных и новых приемов позволил удержать процесс в разумных пределах и строго теоретически доказать полноту построенной таблицы.