Соотношения между классами разбиений с ограничением на число частей

Аннотация

Работа посвящена исследованию связей между классами разбиений натурального числа n с ограничениями на число частей. Основное внимание уделяется разбиениям на ровно k попарно различных нечетных слагаемых. Для установления связи данного класса разбиений с классом разбиений с ограничением на величину частей в работе применяется операция сопряжения диаграмм Юнга. Это позволяет построить явную биекцию и доказать, что количество таких разбиений r(n, k) в точности совпадает с P((n−k²)/2, k) для числа n ≡ k (mod 2) и n ≥ k², части которых не превосходят k. На основе полученного соотношения, проводится сравнение асимптотик функций разбиений r(n, k), p(n, k) — количество разбиений числа n на ровно k частей, и q(n, k) — количество разбиений числа n на k различных частей. При k = O(n^(1/3)) доказано, что отношения q(n, k)/r(n, k) и p(n, k)/r(n, k) асимптотически стремятся к 2^(k−1) при n → ∞. Для численной верификации полученных теорем реализованы два алгоритма на основе динамического программирования. Первый алгоритм основан на рекуррентном соотношении для подсчета разбиений на различные нечетные части r(n, k), второй — на доказанной биекции и рекуррентной формуле для числа разбиений P(m, k), части которых не превосходят k. Вычислительные эксперименты показывают, что алгоритм, использующий установленную биекцию, обеспечивает существенный выигрыш в производительности при увеличении n. Разработанные алгоритмы также применены для проверки гипотезы Каргаполова о рангах группы центральных единиц целочисленного группового кольца знакопеременной группы A_n, связанных с разбиениями на различные нечетные части при дополнительных ограничениях. Вычисления, проведенные до n = 100000, подтверждают асимптотическое поведения величин с относительной погрешностью менее 0.1%.