Численный метод решения обратной задачи с неизвестными начальными условиями для нелинейного параболического уравнения

Наталья Михайловна Япарова

Аннотация


В статье рассмотрена обратная задача для нелинейного параболического уравнения с неизвестными начальными условиями. Для решения обратной задачи предложен метод дискретной регуляризации, основанный на использовании конечно-разностных уравнений и применении регуляризирующих функционалов. Построенная вычислительная схема позволяет одновременно найти численное решение внутри рассматриваемой области и неизвестную граничную функцию. В статье проведено исследование устойчивости вычислительной схемы. Выявлено влияние величин шагов дискретизации и погрешности исходных данных на устойчивость численных решений. Предложенная схема послужила основой для разработки численного метода и проведения вычислительного эксперимента. Результаты эксперимента для серии тестовых функций также представлены в данной работе и свидетельствуют о достаточной эффективности предложенного метода дискретной регуляризации.

Ключевые слова


обратные задачи; численный метод; метод регуляризации; оценка погрешности; вычислительная схема

Полный текст:

PDF

Литература


Алифанов, О.М. Обратные задачи теплообмена / О.М. Алифанов — М.: Машинострое-ние, 1988. – 280 с.

Самарский, А.А. Вычислительная теплопередача / А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич — М.: Едиториал УРСС, 2009. – 784 с

Прокудина, Л.А. Самоорганизация возмущений в жидких пленках / Л.А. Прокудина, Г.П. Вяткин // Доклады Академии наук. — 2011. — Т. 439, № 4. С. 481–484.

Булгакова, Г.Т. Аналитическая модель вертикального вытеснения нефти водой с учетом вязкостных, гравитационных и капиллярных сил / Г.Т. Булгакова, Н.Р. Кондратьева // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. — 2012. — № 1. — С. 208–213.

Шестаков, А.Л. Методы теории автоматического управления в динамических измерениях / А.Л. Шестаков — Министерство образования и науки Российской Федерации, Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2013. — 257 с.

Мартинсон, Л.К. Температурное поле цилиндрического тела в режиме периодического разогрева / Л.К. Мартинсон, О.Ю. Чигирёва // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Серия: Естественные науки. — 2015. — № 3 (60). — С. 88–98.

Dorofeev, K.Y. New approaches to error estimation to Ill-posed problems with application to inverse problems of heat conductivity / K.Y. Dorofeev, N.N. Nikolaeva, V.N. Titarenko, A.G. Yagola // Journal of Inverse and Ill-posed problems. — 2002. — Vol. 10. — No 2 P.155–169.

Танана, В.П. Об оценке погрешности метода решения одной обратной задачи для па-раболического уравнения / В.П. Танана // Сибирский журнал вычислительной мате-матики. — 2010. — Т. 13, — № 4. — С. 451–465.

Табаринцева, Е.В. О решении граничной задачи для параболического уравнения ме-тодом вспомогательных граничных условий / Е.В. Табаринцева // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. 2011. — №32 (249). — С. 68–76.

Танана, В.П. Об оценке погрешности приближенного решения одной переопределен-ной обратной задачи тепловой диагностики / В.П. Танана, И.А. Гайнова, А.И. Сидикова // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2012. — Т. XV, — № 1. — С. 145–154.

Кабанихин, С.И. Прямые и итерационные методы решения обратных и некорректных задач / С.И. Кабанихин, М.А. Шишленин // Сибирские электронные математические известия. — 2008. — Т. 5, — С. 595–608.

Zhang Y. Using Lagrange principle for solving two-dimensional integral equation with a pos-itive kernel / Y. Zhang, D.V. Lukyanenko, A.G. Yagola // Inverse Problems in Science and En-gineering. — 2015. — DOI: 10.1080/17415977.2015.1077445.

Солодуша, С.В. Численное решение обратной граничной задачи теплопроводности с помощью уравнений Вольтерра I рода / С.В. Солодуша, Н.М. Япарова // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2015. — Т. 18, — № 3. — С. 327–335.

Дрозин, А.Д. Математическая модель образования кристаллическиз зардышей в пе-реохлажденном расплаве эвтектического сплава / А.Д. Дрозин, М.В. Дудоров, В.Е. Рощин, П.А. Гамов, Л.Д. Менихес // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. — 2012. — № 11 (270). — С. 66–77.

Марчук, Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук — СПб.: Лань. — 2009. — 608 с.

Вабищевич, П.Н. Монотонные разностные схемы для задач конвекции / диффузии / П.Н. Вабищевич // Дифференциальные уравнения. 1994 — Т. 30, — №3. — С. 503–515.

Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский, — Изд-во МГУ, 1999. — 799 с.

Камонт, З. Неявные разностные методы для эволюционных функционально-дифференциальных уравнений / З Камонт, К. Кропельницка // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2011. — Т. 14, —№ 4. — С. 361–379.

Глазырина, О.В. Исследование сходимости метода конечных элементов для решения параболических уравнений с нелинейным нелокальным пространственным опера-тором / О.В Глазырина, М.Ф. Павлова // Дифференциальные уравнения. — 2015. — Т. 51, — №7. — С. 876.

Япарова, Н.М. Численный метод решения некоторых обратных задач теплопроводности с неизвестными начальными условиями / Н.М. Япарова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. — 2015. — Т. 15, — № 2. — С. 55–65.

Япарова, Н.М. Метод решения некоторых многомерных обратных граничных задач параболического типа без начальных условий / Н.М. Япарова // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. — 2015. — Т. 15, — № 2. — С. 97–108.

Самарский, А.А. Введение в теорию разностных схем / А.А. Самарский — М.: Наука, 1971. — 552 с.

Ладыженская, О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н. Уральцева — M.: Наука. — 1967. — 736 с.

Тихонов, А.Н. Численные методы решения некорректных задач /А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола — Изд-во МГУ, 1990. — 115 с.

Alifanov O.M. Obratnye zadachi teploobmena [Inverse Heat Transfer Problems]. Moscow, Mashinostroenie, 1988. 280 p.

Samarskij A.A., Vabishchevich P.N. Vychislitel'naya teploperedacha [Computational Heat Transfer]. Moscow, Editorial URSS, 2003. 784 p.

Prokudina L.A. Vyatkin G.P Self-organization of perturbations in fluid films // Doklady Akademii nauk [Doklady Physics]. 2011. Vol. 56, No. 8. P. 444–447.

Bulgakova G.T., Kondrat'eva N.R. Analiticheskaya model' vertikal'nogo vytesneniya nefti vodoj s uchetom vyazkostnyh, gravitacionnyh i kapillyarnyh sil [Analytical model of vertical oil-water displacement with the account of viscous, capillary and gravity forces] // Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. seriya: Fiziko-matematicheskie nauki.[ Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Scienc-es] 2012. No. 1. P. 208–213.

Shestakov A.L. Metody teorii avtomaticheskogo upravleniya v dinamicheskih izmereniyah [The methods of control theory in dynamic measurements]. Chelyabinsk, Publishing of the South Ural State University, 2013. 257 p.

Martinson L.K., Chigiryova O.Y. Temperaturnoe pole cilindricheskogo tela v rezhime periodicheskogo razogreva [Thermal fields of a cylindrical body during cyclic heating] // Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta im. N.EH. Baumana. Seriya: Estestvennye nauki.[ Herald of the Bauman Moscow State Technical University, Se-ries: Natural Sciences] 2015. No. 3(60). P. 88–98.

Dorofeev, K.Y., Nikolaeva N.N., Titarenko V.N., Yagola A.G. New approaches to error estima-tion to Ill-posed problems with application to inverse problems of heat conductivity // Journal of Inverse and Ill-posed problems. 2002. Vol. 10, No. 2 P. 155–169.

Tanana V.P. An order-optimal method for solving an inverse problem for a parabolic equa-tion // Sibirskij zhurnal vychislitelnoj matematiki [Numerical Analysis and Applications]. 2010. Vol. 3, No. 4 P. 367–371.

Tabarinceva E.V. O reshenii granichnoj zadachi dlya parabolicheskogo uravneniya metodom vspomogatel'nyh granichnyh uslovij [About solution of the boundary inverse problem for parabolic equation by means of subsidiary boundary conditions method] // Vestnik Yuzho-Uralskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya “Matematika. Mekhanika. Fizika” [Bulletin of the South Ural State University, Series: Mathematics. Mechanics. Physics]. 2011. No. 32(249) P. 68–76.

Tanana V.P., Gajnova I.A., Sidikova A.I. The estimation of approximate solutions an overdetermined inverse problem of thermal diagnostics// Sibirskij zhurnal industrialnoj matematiki [Journal of Applied and Industrial Mathematics]. 2012. Vol. XV, No. 1. P. 145–154.

Kabanihin S.I., Shishlenin M.A. Direct and iterati on methods for solving inverse and ill-posed problems // Sibirskie ehlektronnye matematicheskie izvestiya [Siberian Electronic Mathematical Reports]. 2008. Vol. 5, P. 595–608.

Zhang Y., V. Lukyanenko D.V., Yagola A.G. Using Lagrange principle for solving two-dimensional integral equation with a positive kernel // Inverse Problems in Science and En-gineering. – 2015. DOI: 10.1080/17415977.2015.1077445.

Solodusha S.V., Yaparova N.M. Numerical solving an inverse boundary value problem of heat conduction using Volterra equations of the first kind // Sibirskij zhurnal vychislitelnoj matematiki [Numerical Analysis and Applications]. 2015. Vol. 8, No. 3. P. 267–274.

Drozin A.D., Dudorov M.V., Roshchin V.E., Gamov P.A., Menihes L.D. Mathematical Descrip-tion of the Nucleation in Supercooled Eutectic Melt // Vestnik Yuzho-Uralskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya “Matematika. Mekhanika. Fizika” [Bulletin of the South Ural State University, Series: Mathematics. Mechanics. Physics]. 2011. No. 11(270). P. 66–77.

Marchuk G.I. Metody vychislitel'noj matematiki [Methods of Computational Math-ematics].St. Petersburg, Publishing of the Lan’, 2009. 608 p.

Vabishchevich P.N. Monotone finite-difference schemes on triangular grids for convection-diffusion problems // Differencialnye Uravneniya [Differential Equations]. 1994. Vol. 42, No. 9. P. 1317–1330.

Tihonov A.N. Samarskij A.A. Uravneniya matematicheskoj fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Mouscow, Publishing of the Mouscow State University, 1999. 799 p.

Kamont Z., Kropelnicka K. Implicit difference methods for evolution functional differential equations // Sibirskij zhurnal vychislitelnoj matematiki [Numerical Analysis and Applica-tions]. 2011. Vol. 14, No. 4 P. 361–379.

Glazyrina O.V. Pavlova M.F. Study of the convergence of the finite-element method for para-bolic equations with a nonlinear nonlocal spatial operator // Differencialnye Uravneniya [Differential Equations]. 2015. Vol. 51, No. 7. P. 872–885.

Yaparova N.M. Numerical method for solving some inverse heat conduction problems with unknown initial conditions // Vestnik Yuzho-Uralskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya “Komp'yuternye tekhnologii, upravlenie, radioehlektronika” [Bulletin of the South Ural State University, Series: Computer Technologies, Automatic Control & Radioelectronics]. 2015. No. 2. P. 55–65.

Yaparova N.M. Method for solving some multidimensional inverse boundary value problems for parabolic PDEs without conditions // Vestnik Yuzho-Uralskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya “Komp'yuternye tekhnologii, upravlenie, radioehlektronika” [Bulletin of the South Ural State University, Series: Computer Technologies, Automatic Control & Radioelectronics]”. 2015. No. 3. P. 97–108.

Samarskij A.A. Vvedenie v teoriyu raznostnyh skhem [The theory of difference shemes]. Mouscow, Nauka, 1971. 552 p.

Ladyzhenskaya O.A., Solonnikov V.A., Uralceva N.N. Linejnye I kvazilinejnye uravneniya parabolicheskogo tipa [Linear and quasi-linear parabolic equations]. Mouscow, Nauka, 1967. 736 p.

Tihonov A.N., Goncharskij A.V., Stepanov V.V., YAgola A.G. Chislennye metody resheniya nekorrektnyh zadach [Numerical methods for the solution of ill-posed problems]. Mouscow, Publishing of the Mouscow State University, 1990. 115 p.




DOI: http://dx.doi.org/10.14529/cmse160204