Исследование метода Пикара при решении обратной задачи Коши для уравнения теплопроводности

Аннотация

В данной работе поставлена и решена обратная задача Коши для уравнения теплопроводности. В этой задаче начальное распределение температуры неизвестно, а вместо него дано распределение температуры в момент времени t=T>0. Среди математических задач выделяется класс задач, решения которых неустойчивы к малым изменениям исходных данных. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к большим изменениям решений. Хорошо известно, что данная задача некорректно поставлена. Для решения прямой задачи используется метод разделения переменных. Заметим, что метод разделения переменных совершенно неприменим для решения обратной задачи Коши, так как приводит к достаточно большим погрешностям, а также к расходящимся рядам. Иванов В.К. заметил, что если обратную задачу решать методом разделения переменных, а затем полученный ряд заменять частичной суммой ряда, у которой число слагаемых зависит от δ, N=N(δ), то в результате получим устойчивое приближенное решение. Метод Пикара использует регуляризующее семейство операторов {R_N}, отображающих пространство L₂[0,1] в себя. Приведены результаты вычислительных экспериментов и произведена оценка эффективности данного метода.