Об экспоненциальной устойчивости линейных разностных уравнений с задержками

Леонид Березанский, Елена Браверман

Аннотация


Приведен обзор последних результатов по устойчивости разностных уравнений с запаздыванием.

Все результаты сравниваются с известными признаками экспоненциальной устойчивости линейных разностных уравнений.

Результаты получены с использованием теоремы Боля – Перрона и сравнения исследуемого уравнения с уравнением, у которого функция Коши положительна.

Теорема Боля – Перрона позволяет вопрос об экспоненциальной устойчивости линейного разностного уравнения с запаздыванием сводить к разрешимости операторного уравнения в одном из функциональных бесконечномерных пространств.

То есть фактически к оценке нормы или спектрального радиуса линейного ограниченного оператора в этом пространстве. Для такой оценки используются различные разностные неравенства. Один из способов получения таких неравенств заключается в оценке фундаментального решения в том случае если это решение положительно.


Ключевые слова


линейные разностные уравнения; экспоненциальная устойчивость; теорема Боля – Перрона; теоремы сравнения

Полный текст:

PDF (English)

Литература


Berezansky L., Braverman E. On Bohl-Perron Type Ttheorems for Linear Difference Equations. Funct. Differ. Equ., 2004, vol. 11, no. 1-2, pp. 19–28.

Berezansky L., Braverman E. On Exponential Dichotomy, Bohl-Perron Type Theorems and Stability of Difference Equations. J. Math. Anal. Appl., 2005, vol. 304, pp. 511–530. DOI: 10.1016/j.jmaa.2004.09.042

Berezansky L., Braverman E. On Existence of Positive Solutions for Linear Difference Equations with Several Delays. Adv. Dyn. Syst. Appl., 2006, vol. 1, no. 1, pp. 29–47.

Berezansky L., Braverman E., Liz E. Sufficient Conditions for the Global Stability of Nonautonomous Higher Order Difference Equations. J. Difference Equ. Appl., 2005, vol. 11, no. 9, pp. 785–798. DOI: 10.1080/10236190500141050

Berezansky L., Braverman E. On Exponential Dichotomy for Linear Difference Equations with Bounded and Unbounded Delay. Proceedings of the Conference on Differential and Difference Equations & Applications Melbourne, Florida, August 1–5, 2005. Edited by Ravi P. Agarwal and Kanishka Perera, Hindawi Publishing Corporation, 2006, pp. 169–178.

Berezansky L., Braverman E., Kravets O. Nonoscillation of Linear Delay Difference Equations with Positive and Negative Coefficients. J. Difference Equ. Appl., 2008, vol. 14, no. 5, pp. 495–511. DOI: 10.1080/10236190701692273

Elaydi S., Periodicity and Stability of Linear Volterra Difference Systems. J. Math. Anal. Appl., 1994, vol. 181, no. 2, pp. 483–492. DOI: 10.1006/jmaa.1994.1037

Elaydi S. and Murakami S. Uniform Asymptotic Stability in Linear Volterra Difference Equations. J. Difference Equ. Appl., 1998, vol. 3, no. 3-4, pp. 203–218. DOI: 10.1080/10236199808808097

Erbe L.H., Xia H., Yu J.S., Global Stability of a Linear Nonautonomous Delay Difference Equation. J. Difference Equ. Appl., 1995, vol. 1, no. 2, pp. 151–161. DOI: 10.1080/10236199508808016

Gyӧri I., Hartung F. Stability in Delay Perturbed Differential and Difference Equations. Fields Inst. Commun., 2001, vol. 29, pp. 181–194. DOI: 10.1090/fic/029/14

Gyӧri I. and Ladas G. Oscillation Theory of Delay Differential Equations. Clarendon Press, Oxford, 1991. 378 p.

Gyӧri I., Ladas G., Vlahos P.N. Global Attractivity in a Delay Difference Equation. Nonlinear Anal. TMA, 1991, vol. 17, no. 5, pp. 473–479. DOI: 10.1016/0362-546x(91)90142-n

Kipnis M.M., Komissarova D.A. A Note of Explicit Stability Conditions of Autonomous Higher Order Difference Equation. J. Difference Equ. Appl., 2007, vol. 13, no. 5, pp. 457–461. DOI: 10.1080/10236190601132933

Kocić V.L., Ladas G. Global Behavior of Nonlinear Difference Equations of Higher Order with Applications. Math. Appl., vol. 256. Kluwer Academic, Dordrecht, 1993. 240 p. DOI: 10.1007/978-94-017-1703-8

Krause U., Pituk M. Boundedness and Stability for Higher Order Difference Equations. J. Differ. Equations Appl., 2004, vol. 10, pp. 343–356. DOI: 10.1080/1023619031000115377

Liz E. On Explicit Conditions for the Asymptotic Stability of Linear Higher Order Difference Equations. J. Math. Anal. Appl., 2005, vol. 303, pp. 492–498. DOI: 10.1016/j.jmaa.2004.08.048

Liz E., Ivanov A., Ferreiro J.B., Discrete Halanay-Type Inequalities and Applications. Nonlinear Anal., 2003, vol. 55, pp. 669–678. DOI: 10.1016/j.na.2003.07.013

Liz E., Pituk M. Asymptotic Estimates and Exponential Stability for Higher-Order Monotone Difference Equations. Adv. Difference Equ., 2005, no. 1, pp. 41–55. DOI: 10.1155/ADE.2005.41

Malygina V.V., Kulikov A.Y. On Precision of Constants in Some Theorems on Stability of Difference Equations. Func. Differ. Equ., 2008, vol. 15, no. 3-4, pp. 239–249.

Pituk M. Global Asymptotic Stability in a Perturbed Higher Order Linear Difference Rquation, Comput. Math. Appl., 2003, vol. 45, pp. 1195–1202. DOI: 10.1016/S0898-1221(03)00084-1

Tang X.H., Jiang Z. Asymptotic Behavior of Volterra Difference Equation. J. Difference Equ. Appl., 2007, vol. 13, no. 1, pp. 25–40. DOI: 10.1080/10236190601008810

Tkachenko V. and Trofimchuk S. A Global Attractivity Criterion for Nonlinear NonAutonomous Difference Equations. J. Math. Anal. Appl., 2006, vol. 322, no. 2, pp. 901–912. DOI: 10.1016/j.jmaa.2005.09.052

Yu J.S. Asymptotic Stability for a Linear Difference Equation with Variable Delay, Advances in Difference Equations, II. Comput. Math. Appl. 36, 1998, no. 10-12, pp. 203–210. DOI: 10.1016/s0898-1221(98)80021-7

Zhang B.G., Tian C.J., Wong P.J.Y. Global Attractivity of Difference Equations with Variable Delay. Dynam. Contin. Discrete Impuls. Systems, 1999, vol. 6, no. 3, pp. 307–317.




DOI: http://dx.doi.org/10.14529/ctcr180304

Ссылки

  • На текущий момент ссылки отсутствуют.