O точности численных методов решения уравнений Вольтерра I рода в задачах теплопереноса
Аннотация
Статья посвящена исследованию точности методов решения задачи измерения, возникающей при определении температуры внутри объекта, подвергаемого влиянию внешнего управляющего теплового воздействия. Подход к построению численного решения задачи измерения, связанной с проблемой определения температуры, основан на сведении первоначальной задачи к решению интегрального уравнения, характеризующего прямую зависимость температуры от измеряемых величин. Интегральное уравнение получено с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа с привлечением регуляризующего подхода и математического аппарата теории обратных задач. Результирующее интегральное уравнение относится к классу уравнений Вольтерра I рода типа свертки с ядром, имеющим специфические особенности. В данной работе исследуется точность численных методов решении интегрального уравнения со специфическим ядром с точки зрения механизмов реализации машинной арифметики. Вычислительные схемы методов основаны на использовании product integration method, квадратуры средних прямоугольников. В работе также приведены результаты исследования погрешности вычислительной схемы оптимального по порядку метода, основанного на применении преобразований Фурье и метода проекционной регуляризации. Метод применяется для непосредственного решения исходной задачи без перехода к интегральной модели и позволяет получать численные решения с гарантированной точностью. С целью получения экспериментальной оценки точности численных методов и сравнительного анализа машинной точности методов интегральной аппроксимации и оптимального по порядку метода проведен вычислительный эксперимент. Результаты эксперимента свидетельствуют о принципиальной возможности получения численных решений задачи измерения с высоким уровнем точности.
Ключевые слова
Полный текст:
PDFЛитература
Идентификация метаматематических моделей теплопереноса в разлагающихся материалах. / О.М. Алифанов, С.А. Будник, А.В. Ненарокомов, А.В. Нетелев // Тепловые процессы в технике. – 2011. – № 8. – С. 338–347.
Павлюченков, И.А. О решении сопряженной задачи тепло- и массопереноса для слитка, полученного методом электрошлаковой наплавки жидким металлом / И.А. Павлюченков, С.А. Усенко // Известия высших учебных заведений. Черная Металлургия. – 2012. – № 55 (2). – С. 29–31.
Лукин, С.В. Оптимизация вторичного охлаждения в машине непрерывного литья заготовок / С.В. Лукин, А.В. Гофман, Н.Г. Баширов // Вестник Череповецкого государственного университета. – 2010. – № 1 (24). – С. 115–120.
Joachimiak, M. Solution of inverse heat conduction equation with the use of Chebyshev polynomials / M. Joachimiak, A. Frackowiak, M. Cialkowski // Archives of Thermodynamics. – 2016. – Vol. 37, no. 4. – P. 73–88. DOI: 10.1515/aoter-2016-0028
Beck, J.V. Inverse Heat Conduction: Ill-Posed Problems / J.V. Beck, B. Blackwell, C.R. St. Clair, jr. – New York: Wiley-Interscience, 1985. – 308 р.
Yaparova, N.M. Method for temperature measuring inside a cylindrical body based on surface measurements / N.M. Yaparova, A.L. Shestakov // 14th IMEKO TC10 Workshop on Technical Diagnostics 2016: New Perspectives in Measurements, Tools and Techniques for Systems Reliability, Maintainability and Safety. – 2016 – P. 8–12.
Bulatov, M.V. An integral method for the numerical solution of nonlinear singular boundary value problems / M.V. Bulatov, P.M. Lima, Do.T. Thanh // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Математическое моделирование и программирование». – 2015. – Т. 8, № 4. – С. 5–13. DOI: 10.14529/mmp150401
Shestakov, A.L. Modal Synthesis of a measurement transducer / A.L. Shestakov // Проблемы управления и информатики. – 1995. – № 4. – С. 67–75.
Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. – М.: Изд-во МГУ, 1999. – 799 с.
Васин, В.В. Некорректные задачи с априорной информацией / В.В. Васин, А.Л. Агеев. – Екатеринбург: Наука, 1993. – 264 с.
Кабанихин, С.И. Обратные и некорректные задачи / С.И. Кабанихин. – Новосибирск: Сибир. науч. изд-во, 2009. – 457 с.
Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. – М.: Наука, 1980. – 287 с.
Табаринцева, Е.В. О решении граничной задачи для параболического уравнения методом вспомогательных граничных условий / Е.В. Табаринцева // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Математика. Механика. Физика». – 2011. – № 32 (249). – С. 68–76.
Численные методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. – М.: Наука, 1990. – 232 с.
Yaparova, N.M. Numerical methods for solving a boundary value inverse heat conduction problem / N.M. Yaparova // Inverse Problems in Science and Engineering. – 2014. – Vol. 22, no. 5. – P. 832–847. DOI: 10.1080/17415977.2013.830614
Апарцин, А.С. О применении различных квадратурных формул для приближенного решения интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратурных сумм / А.С. Апарцин // ифференциальные и интегральные уравнения. – Иркутск: ИГУ, 1973. – С. 107–116.
Верлань, А.Ф. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы / А.Ф. Верлань, В.С. Сизиков. – Киев: Наукова думка, 1986. – 543 с.
Солодуша, С.В. Применение численных методов для уравнений Вольтерра I рода, возникающих в обратной граничной задаче теплопроводности / С.В. Солодуша // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. – 2015. – Т. 11. – C. 96–105.
Бакушинский, А.Б. Некорректные задачи. Численные методы и приложения / А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский. – М.: Из-во Моск. гос. ун-та, 1989. – 199 с.
Танана, В.П. Об оптимальном по порядку методе решения условно-корректных задач / В.П. Танана, Н.М. Япарова // Сибирский журнал вычислительной математики. – 2006. – Т. 9, № 4. – C. 353–368.
DOI: http://dx.doi.org/10.14529/ctcr190102
Ссылки
- На текущий момент ссылки отсутствуют.